Linear Quadratic Regulator(LQR)

목적

\( J(U) \) 를 최소화하는 \( u_{0}^{lqr}, \cdots, u_{N-1}^{lqr} \) 찾기

 

Discrete-time finite horizon

 

 

discrete-time system : \( x_{t+1}=Ax_{t}+Bu_{t}, x_0=x^{init} \)

 

\( x_{0}, x_{1},  \cdots \) 작은 경우, good regulation or control

\( u_{0}, u_{1}, \cdots \) 작은 경우, small input effor or actuator authority

 

 

Quadratic cost function을 정의하자.

\( J(U) = \sum_{\tau =0}^{N-1} (x_\tau^{T}Qx_{\tau}+u_\tau^{T}Ru_{\tau})+x_N^TQ_{f}x_N \)             (1)

 

Where \( U=(u_{0}, \cdots, u_{N-1}) \) and \( Q=Q^T \geq 0, Q_f=Q_f^T \geq 0, R=R^T > 0 \)

 

\( Q \) : given state cost matrices

\( Q_f \) : given final state cost

\( R \) : given input cost matrices

N : time horizon

 

(1)식을 보면

첫 번째 항 : state deviation, 두 번째 항 : input size/actuator authority, 세 번째 항 : final state deviation 을 나타낸다.

 

Q, R은 state deviation과 input usage에 대한 상대 가중치로 정의된다.

 

\( R>0 \) 로 정의함으로써 모든 (nonzero) input 을 추가한다.