Reachability & Controllability

\( \dot{x}(t)=Ax(t) + Bu(t) \)

\( y(t) = Cx(t) + Du(t) \)

 

 

time interval \( [t_i, t_f] \) 동안에 대해 성립한다고 가정하자.

 

State transfer : input \( u : [t_i, t_f] \to \mathbb{R}^m \) 으로 \(x(t_i) \to x(t_f) \) 로 transfer하는 것

 

Reachability

주어진 initial state \( x(t_0) \) 로부터 모든 final state \( x(t_1) \) 까지 state transfer이 가능할 때

\(x(t)\) is reachable (in t seconds or epochs)  

 

• CT(Continuous Time) system : \( \dot{x}(t)=Ax(t) + Bu(t) \) 인 경우,

\( \Re _t=\left\{\int_{0}^{t} e^{(t-\tau)A}Bu(\tau)d\tau | u:[0,t]\to \mathbb{R}^m  \right\} \)

 

• DT(Discrete Time) system : \( x(t+1)=Ax(t)+Bu(t), x(t) \in \mathbb{R}^n \) 인 경우,

\( \Re _t=\left\{\sum_{\tau=0}^{t-1}A^{t-1-\tau}Bu(\tau) | u(0), \cdots, u(t-1) \in \mathbb{R}^m \right\} \)

 

\( x(t)=C_t\begin{bmatrix}u(t-1) \\\vdots  \\u(0)\end{bmatrix} ,C_t=\begin{bmatrix}B&AB&\cdots&A^{t-1}B\\\end{bmatrix} \)

 

 

 

정의

시스템의 입력 변수(input variable)를 조절함으로써 특정한 상태 변수(state variable) 혹은 전체 시스템을 조절할 수 있는지의 여부